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數學女孩秘密筆記：積分篇
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內容簡介
日本数学会出版賞得主結城浩的挑戰狀
青春×科普，真理只有一個！
『不變的東西，才有命名的價值』
留意所有細節，才能不受迷惑，
發現積分、極限與無限之間的魅力
將所有的時代堆積起來，
就能構成現今世界嗎？
將所有小石頭收集起來，
就能形成整個地球嗎？
將所有的我加總起來，
就能造就我的一切嗎？
若能觀察所有的一切，
就能知曉世間萬物嗎？
觀察、觀察、不斷觀察，
才能看穿事情的本質，
才能發現背後的真相。
縱然沒辦法馬上發現——
還是先從自己身邊
開始觀察吧。
當距離逼近極限，出現的矛盾是偶然，還是必然？
唯有仔細觀察，才能找出隱藏的變化
同樣的題目，也能用不同的角度解開
用♡代替
，是否能傳達女孩的心意？
這是「我」和三位女孩
一起探索積分的秘密與力量，
教人怦然心動的數學對話。
名人推薦
前師範大數學系教授兼主任 洪萬生
目錄
獻給你 1
序章 2
第1章 觀察變化的乘法 3
1.1 我的房間 3
1.2 變化的位置 7
1.3 『位置圖』⇨『速度圖』 12
1.4 『位置圖』⇦『速度圖』 13
1.5 變化的速度 15
1.6 速度改變也沒關係？ 17
第一章的問題 18
第2章 用夾擠定理求面積 19
2.1 圖形上出現空隙 19
2.2 從上面逼近 22
2.3 一般化 24
2.4 求相加的和 25
2.5由梨的質疑 28
2.6 逼近極限 30
2.7 『速度圖』的面積 33
2.8 拋物線 35
2.9 分成4等分計算L4 36
2.10 分成4等分計算M4 37
2.11 n等分 37
2.12 計算平方和 38
2.13 『夾擠定理』 40
2.14由梨的發現 42
第2章的問題 43
第3章 微積分的基本定理 44
3.1 圖書室 44
3.2 這是什麼函數？ 45
3.3 微分與積分 49
3.4 斜率與面積 54
3.5 積分符號與定積分 57
3.6 數學對象與數學主張 61
3.7 原函數 63
3.8 不定積分的探求 64
3.9 定積分的探求 65
3.10 定和分的探求 66
第3章的問題 73
第4章 看出式子形式 74
4.1 冪乘的形式 74
4.2 相加形式 76
4.3 和的積分是積分的和 77
4.4 和的問題 79
4.5 常數倍 80
4.6 冪級數的形式 83
4.7 相乘形式 86
4.8 從微分到積分 89
4.9 套用部分積分的公式 92
4.10 式子形式 94
第4章的問題 98
第5章 試求圓的面積 99
5.1 圖書室 99
5.2 圓的面積 101
5.3 使用披薩 102
5.4 nLn的極限 106
5.5 『∞×0』的模式 108
5.6 『00』的模式？ 111
5.7 sinθθ→1的意義 113
5.8 回到圓的面積 115
5.9 nMn的極限 116
第5章的問題 120
終章 121
解答 123
獻給想要深入思考的你 135
後記 139
試閱
我：「奇怪的數學問題？」
上國中的表妹由梨，總是叫我『哥哥』，放假時經常跑到我的房間玩，一起討論數學的問題，我們的關係非常好。
由梨：「兄弟兩人步行前往車站，因為哥哥的腳步比較快，弟弟只能緊跟在後頭……像是這樣的問題。」
我：「嗯，的確有類似的問題。」
由梨：「哥哥等一下弟弟不就好了！」
我：「哈哈。真的就像由梨所說的，放到現實生活上會聽起來很奇怪。妳是說像這樣的問題吧？」
問題1（兄弟步行）
兄弟兩人同時從家裡出發，哥哥每分鐘走100公尺，但弟弟每分鐘只能走50公尺。假設家裡到車站的距離有500公尺，試問當哥哥抵達車站時，弟弟距離家裡多少公尺？
由梨：「就是這樣的問題。弟弟好可憐喵……」
由梨用貓語表示氣憤。
我：「對了，妳會解這個問題嗎？」
由梨：「這很簡單啊。到車站的距離有500公尺，哥哥每分鐘走100公尺，所以5分鐘就會抵達嘛？」
500 (公尺) ／100 (公尺/分) =5 (分)
我：「沒錯。」
由梨：「因為弟弟每分鐘走50公尺，5分鐘走了250公尺，所以他距離家裡250公尺！」
50 (公尺/分) X 5 (分) = 250 (公尺)
由梨晃著栗色馬尾，得意地說出答案。
解答1（兄弟步行）
弟弟距離家裡250公尺。
我：「嗯，正確。」
由梨：「竟然丟下弟弟先走，太不過分了！」
我：「也對。」
由梨：「哥哥不會把由梨丟下自己先走吧？」
我：「真的發生的話，應該是妳丟下我吧？」
由梨：「你說什麼？」
我：「丟下不管……嗯，那麼，假設抵達車站的哥哥回過頭去找弟弟吧。」
由梨：「回過頭去找？」問題2（來回往返的哥哥）
兄弟兩人同時從家裡出發，哥哥每分鐘走100公尺，但弟弟每分鐘只能走50公尺。假設到家裡到車站的距離有500公尺，哥哥抵達車站後馬上掉頭，碰到弟弟後再走回車站，不斷在車站與弟弟之間來回往返。試問當弟弟抵達車站時，哥哥總共走了多少公尺？
由梨：「這樣……來來回回很複雜耶！」
我：「但是，妳懂題目的意思吧。」
由梨：「讓我想一下。弟弟不斷接近車站……也就是說，哥哥往返的距離漸漸縮短嘛。最後愈變愈短……不停來來回回，這怎麼可能發生啊！」
我：「嘛，現實生活中不會有人這樣做，但這可以想成是點的移動。」
由梨：「想成點的移動還是很難吧？變成是無限項的相加運算。」
我：「問題2可以像問題1馬上解出來喔。」
由梨：「問題明明是無限的往返？」
我：「這題可以從走了多少時間切入。哥哥是在車站與弟弟之間來回往返，但弟弟卻不是這樣。弟弟從家裡出發後，就一直走向車站。弟弟抵達車站花了多少時間？」
由梨：「到車站的距離有500公尺，弟弟每分鐘走50公尺。這樣的話……
500 (公尺) / 50 (公尺/分) = 10 (分)
所以，弟弟走了10分鐘。」
我：「那麼，在這10分鐘內，哥哥走了多少公尺？」
由梨：「啊！是這樣啊！哥哥每分鐘走100公尺，走了10分鐘……
100 (公尺/分) X 10 (分) = 1000 (公尺)
所以，哥哥走了1000公尺！」
我：「答對了。」
解答2（來回往返的哥哥）
哥哥總共走了1000公尺。
由梨：「這好厲害……」
我：「當我們知道每分鐘走多遠，自然會去想『走了幾分鐘』。」
由梨：「最後再乘起來就好了嘛。」
我：「沒錯。相乗後就能知道走了多遠。
速度 × 花費時間
這相當於在求面積。」
由梨：「不是吧？我沒有在求面積唷？」
我：「不對，這是在求『速度圖』的面積喔，相當於在積分速度……」
由梨：「積分？那是什麼，很有趣嗎？」
我：「嗯，很有趣喔。舉個簡單的例子來說明，我想由梨就能了解積分的概念了。」
由梨：「積分會很複雜嗎？」
我：「不會，妳一定可以理解的。」
由梨：「太好了，那就趕快開始吧。」
我：「……」
我們就這樣踏上了『積分學習之旅』。1.2 變化的位置
我：「假設有一條直線，點P 在線上移動。」
直線上的點P
由梨：「又是點P。」
我：「如果沒有任何標示，我們不曉得點P所在的位置。在直線上畫上數字刻度後，普通的直線就變成數線。」
表示點 P 位置的數線
由梨：「嗯嗯，數線。」
我：「舉例來說，假設以 x 表示點P的位置，
我們會用這個數學式表示點P在位置1上。」
由梨：「若是x = 10 呢？」
我：「表示點P前進很多！」
由梨：「那若是x = 300000000呢？」
我：「表示突然移動到非常遠的地方！……嘛，以此類推。」
由梨：「一點都不難嘛。」
我：「非常好。不過，點P在移動，比方說點P從位置X1移動到位置X2」
點P從位置X1移動到X2
由梨：「嗯嗯。點P移動了。」
我：「此時，
「位置變化」= X2 - X1
表示位置改變了多少。」
由梨：「好的。」
我：「雖然由X2 - X1可了解『位置變化』，但卻不知道速度。」
由梨：「因為不知道點P移動了1秒還是3萬年。」
我：「沒錯。如果不知道移動花費的時間，也就沒辦法知道速度。所以，在求點P 的速度時，必須注意每個時刻的位置。舉例來說——
・在時刻T1，點P的位置為X1。
・在時刻T2，點P的位置為X2。
——像這樣來討論。」
由梨：「花費時間是T2 - T1嘛。」
我：「沒錯。花費時間就是『時間變化』，表示為
「時間變化」= T2 - T1
做到這邊就能計算速度
「速度」=「位置變化」/「時間變化」= (X2 - X1) / (T2 - T1)
速度的公式會變成這樣。」
由梨：「我了解了，但是好麻煩耶。」
我：「好麻煩？」
由梨：「位置、時間、速度都跑出來了，好麻煩唷——」
我：「位置是指『在哪裡』；時間是指『什麼時候』；速度是指『往哪個方向跑多快』，一點都不麻煩喔。」
由梨：「時間、位置一起改變，所以看起來很複雜啊。」
我：「遇到複數變數一同變化，看起來很複雜時，可以畫出關係圖來幫助理解，抓住變化的情況。」
由梨：「喵來如此。」
我：「想要知道隨著時間改變，位置如何變化時，可以畫出『位置圖』；想要知道隨著時間改變，速度如何變化時，可以畫出『速度圖』。那麼，實際來畫畫看，我們先來畫個『位置圖』吧。」問題3（繪製『位置圖』）
點P以固定速度V在直線上移動。
在時刻0，點P的位置為C。
速度V 時刻0
位置0 位置C
在時刻T，點P的位置為X。
速度V 時刻T
位置0 位置C 位置X
假設點P一直以固定速度V持續移動，試畫表示時間T與位置X關係的『位置圖』。
由梨：「點P是以固定速度在移動，所以『位置圖』會不斷向右上方延伸嘛。」
我：「咦？」
由梨：「啊，我漏掉了。一開始的位置是C。」
我：「這樣不對，由梨。就算再怎麼嫌麻煩，妳省略太多東西了。橫軸和縱軸沒有任何標示的話，這圖形會沒有任何意義。」
由梨：「對唷。我想想……橫軸為時間T、縱軸為位置X嘛。」
我：「沒錯。由這關係圖可以知道，點P在時刻0時位於位置C。因為t = 0 時X = Ｃ。」
由梨：「嗯……為什麼這關係圖有兩個0呢？」
我：「啊，那是時間的0和位置的0。一般會一起寫成原點O，但這邊把它們分開來寫。」
由梨：「嗯——」
我：「接著討論關係圖上其他時間的位置吧，像是t= 1時X的值為？」
由梨：「嗯……速度為V、花費時間為1，只前進了V x 1 = V，加上一開始的位置是C，所以X的值會是V + C？」
我：「沒錯。t = 1時X = V + C，試著把答案寫進『位置圖』中吧。」
在時間t = 1時，位置X = V + C
由梨：「哈哈，V出現在C的上頭。」
我：「因為C是t = 0 時的位置。同理，改變時間t 的話……
t = 0 的時候 X = C
t = 1 的時候 X = V + C
t = 2 的時候 X = 2V + C
t = 3 的時候 X = 3V + C
……X 會像這樣變化。比較新位置和一開始的位置C，會發現時間t = 1增加V、時間t = 2 增加2V、時間t = 3 增加3V。換句話說，從起始位置C 開始的『位置變化』跟時間成正比關係。」
由梨：「是啊。」
我：「一般化後，時間t 與位置X的關係會是
X = Vt + C
在關係圖上，呈現斜率V 的直線。」
由梨：「又是一般化。」
解答3（繪製『位置圖』）
表示點P 的時間t 與位置X關係的『位置圖』如下點P的『位置圖』
由梨：「嗯嗯，哥哥真的很喜歡列出數學式耶。」
我：「喜歡啊。只要知道V和C，就能夠用數學式X = Vt + C，求出任何時間t 所對應的位置X。這個『任何時間t 所對應的』很吸引我啊。」
由梨：「喔喔——這就是對數學式的愛啊。」
我：「『位置圖』就像是這樣，那『速度圖』會如何呢？」
由梨：「因為速度固定不變，所以呈現水平線？」
我：「是的。點P 的速度在任何時間t 皆為定值V。若以小文字v 表示在時間t 的點P 速度，v = V
這個數學式在『速度圖』上呈現水平線。橫軸為時間t ，縱軸為速度V。」
點P 的『速度圖』
由梨：「速度一直沒有改變嘛。」
我：「沒錯。因為前提條件是點P 的速度固定不變，所以即便位置改變了，速度也不會出現變化。」
由梨：「嗯嗯……啊哈哈哈哈！」
我：「突然怎麼了？！」
由梨：「我突然想到以前哥哥舉在堅硬冰塊上面滑動的例子。」＊
我：「啊啊，的確有這回事。點P 的移動跟不受外力在冰上滑動一樣。」
1.3 『位置圖』⇨『速度圖』
我：「點P 以速度V移動，將移動情況畫成『位置圖』和『速度圖』後，兩張圖形會差很多。」
『位置圖』 『速度圖』
由梨：「因為是不同的關係圖，圖形當然不一樣吧？」
我：「雖然圖形的確不一樣，但兩張圖並非完全沒有關聯喔。兩張圖都是用來表示點P 的移動。」
由梨：「我不懂哥哥想說什麼。」
我：「我想要說的是，
・『位置圖』的斜率為V。
・『速度圖』的截距為V。
兩張圖表示了不同的意義。」
由梨：「嗯……？」
我：「『位置圖』的斜率等於速度，這妳了解吧？」
由梨：「我知道唷。『位置圖』的斜率愈大，表示相同時間能夠跑得更遠，也就是速度愈快嘛。」
『位置圖』 『速度圖』
我：「『位置圖』上斜率V 的斜直線，會變成『速度圖』上會截距V 的水平線。當我們知道『位置圖』，就能夠畫出『速度圖』。」
『位置圖』⇨『速度圖』
由梨：「齁齁——」
我：「接著，這次反過來想吧。」
『位置圖』⇦『速度圖』
由梨：「反過來？」1.4 『位置圖』⇦『速度圖』
我：「只要知道『速度圖』的圖形面積，就能夠畫出『位置圖』！」
由梨：「完全聽不懂！」
我：「把兩張圖排在一起，妳就能夠看出來了喔。」
由梨緊盯『位置圖』與『速度圖』，努力想要找出兩圖的關係。
我：「……」
由梨：「……哈哈。」
我：「看出來了嗎？」
由梨：「我知道了！很簡單啊！當時間t 變成1,2,3時，『位置圖』上的長度是V,2V,3V，『速度圖』所圍成的面積是V,2V,3V。」
我：「沒錯。『速度圖』上經過時間t 所圍成的長方形面積為Vt。把Vt 加上t = 0的位置C，就會變成位置X 對時間t 的數學式
X = Vt + C
其中，Vt 既是『位置變化』，也是『速度圖』上對應的面積。」
由梨：「喵來如此。明明是在說點的移動，卻變成面積……」
我：「嗯，所以， 速度 × 花費時間
前面才會說這個數學式是指面積。『速度圖』的面積代表『位置變化』。把時間t 的面積加上時刻O 的位置，就能夠知道時間t 的位置。換句話說，我們可以畫出『位置圖』。」
由梨：「嗯嗯。意思是我們可用乘法計算長方形的面積，把『速度圖』轉為『位置圖』嘛。」
我：「這是點P 的情況。然後，接下來會愈來愈有趣。」
由梨：「哥哥的眼睛在閃閃發光！」
我：「這邊能用乘法轉換關係圖，是因為點P 以固定的速度在移動。在這前提條件下，點P 在任何時間的速度都是V。因為速度固定不變，所以『速度圖』呈現長方形。因為圖形是長方形，所以才能用乘法來求面積。沒錯吧？」
由梨：「嗯嗯，然後呢？」
我：「速度固定的情況很簡單。但是，如果像下面的問題，速度發生改變的話呢？」
由梨：「喔喔——？」
＊ 參見『數學女孩秘密筆記本 向量篇』
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