攸關貧富與生死的數學
The Maths of Life and Death Why Maths Is (Almost) Everything
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內容簡介
沒有人完全不懂數學！一本寫給非數學人的數學書
»DNA檢測到底有多準確？
»疾病篩檢陽性，為什麼最好再測一次？
»怎麼利用37%法則，做出最好的選擇？
許多人覺得數學太難，在學校上課時就下意識排斥，
甚至畢業後真的只用加減乘除來處理日常事務。
這實在太可惜了！
數學最大的用處，就是幫助我們在複雜的世界中找出模型，
讓我們更容易理解現實的問題、做出最好的決定，像是：
．看穿金字塔騙局，遠離投資陷阱
．秒懂複利效應指數模型，趁早開始理財
．瞭解流行病傳播方式，做好防護、經常洗手
葉茲利用「故事」這個最簡單、最重要的模型，
來解釋日常生活幾個常被忽略，卻又相當重要的數學概念，
也告訴我們，這些攸關貧富與生死的數學並不難，
只需花點時間認識它們，
在人生旅途中不僅能多上一分欣賞風景的樂趣，
還可以閃開不易察覺的坑洞，避凶趨吉。
»DNA檢測到底有多準確？
»疾病篩檢陽性，為什麼最好再測一次？
»怎麼利用37%法則，做出最好的選擇？
許多人覺得數學太難，在學校上課時就下意識排斥，
甚至畢業後真的只用加減乘除來處理日常事務。
這實在太可惜了！
數學最大的用處，就是幫助我們在複雜的世界中找出模型，
讓我們更容易理解現實的問題、做出最好的決定，像是：
．看穿金字塔騙局，遠離投資陷阱
．秒懂複利效應指數模型，趁早開始理財
．瞭解流行病傳播方式，做好防護、經常洗手
葉茲利用「故事」這個最簡單、最重要的模型，
來解釋日常生活幾個常被忽略，卻又相當重要的數學概念，
也告訴我們，這些攸關貧富與生死的數學並不難，
只需花點時間認識它們，
在人生旅途中不僅能多上一分欣賞風景的樂趣，
還可以閃開不易察覺的坑洞，避凶趨吉。
目錄
引言 萬事萬物都是數學
第1章 從指數的角度來思考：探討「指數行為」的威力與限制
第2章 敏感性、專一性、第二意見：數學對醫學有多重要
第3章 數學法則：瞭解數學對法律的重要性
第4章 不要相信真相：揭露媒體的數據假像
第5章 錯的地方、錯的時間：數字系統如何演變、又如何讓我們失望
第6章 永不停歇的改善：從演化到電子商務，展現演算法的無限潛力
第7章 易感者、感染者、排除者：將疾病控制在我們手中
結語 數學帶來的解放
致謝
參考文獻
第1章 從指數的角度來思考：探討「指數行為」的威力與限制
第2章 敏感性、專一性、第二意見：數學對醫學有多重要
第3章 數學法則：瞭解數學對法律的重要性
第4章 不要相信真相：揭露媒體的數據假像
第5章 錯的地方、錯的時間：數字系統如何演變、又如何讓我們失望
第6章 永不停歇的改善：從演化到電子商務，展現演算法的無限潛力
第7章 易感者、感染者、排除者：將疾病控制在我們手中
結語 數學帶來的解放
致謝
參考文獻
序／導讀
【自序】
我兒子四歲，喜歡在花園裡玩，挖出各種噁心的爬行動物來瞧瞧，蝸牛更是最愛。在他夠有耐心的時候，會等到蝸牛從被抓的震驚中恢復、小心翼翼的從殼裡探出頭來，開始滑過他的小手，留下黏黏的爬痕。最後等到他覺得無聊，就會有點無情的把蝸牛丟到堆肥堆，或是置物棚後面的柴堆上。
去年9月底，他有一次特別勤奮，抓了五六隻很大的蝸牛。他在我鋸柴火的時候跑來問我：「爸比，花園裡到底有幾隻蝸牛？」這個問題乍看之下很簡單，但我卻沒有一個好答案。這數字可能是100，也可能是1,000。而且老實說，他大概也分不出來這兩個數字有什麼不一樣。但這個問題還是引起了我的興趣。我們父子倆要怎樣才能一起找出答案？
我們決定做實驗。隔週的週六早上，我們一起去抓蝸牛。十分鐘內，我們總共抓到了23隻。我從褲子後面口袋拿出一支麥克筆，在每隻蝸牛的殼上都打了一個小小的叉叉，接著把桶子裡所有蝸牛放回花園裡。
一週後，我們又回去再抓了一次，一樣花了十分鐘，這次只抓到18隻。但檢查之後，發現只有3隻的殼上有叉叉，其他15隻沒有任何標記。這樣一來，我們就得到了足以用來計算的資訊。
概念是這樣：第一次抓到的蝸牛共有23隻，占了整個花園總蝸牛數的一定比例。只要算出這個比例，就能用來擴大推估整個花園的總蝸牛數。於是，我們又做了一次抽樣（也就是隔週那次）。第二次抽樣時，有標記個體所占的比例（3/18），應該就代表有標記個體在整個花園裡所占的比例。經過約分，可以知道有標記蝸牛應該是占了總蝸牛數的1/6，所以把第一次抓到的有標記個體數（23）乘以6，就能推算花園裡蝸牛總數的估計值，也就是138。
我在心裡完成計算之後，轉向一路上一直「照顧」著我們抓到的蝸牛的兒子，告訴他花園裡大約有138隻蝸牛，問他有什麼想法？他說：「爸比」，然後看著手指上還黏著的蝸牛殼碎片，「有一隻被我弄死了。」這下大約只剩137隻了。
這種簡單的數學方法出自生態學領域，稱為「重複捕取」（capture–recapture），用來估算動物族群的大小。讀者也可以自己嘗試看看，只要做兩次獨立抽樣，再比較之間重疊的情形就能推估。如果你想估算園遊會賣了幾張抽獎券，又或者想知道足球賽的觀眾人數，不想大費周章逐一計算，就可以採用這種「重複捕取」的方式。
即使是嚴謹的科學專案，也能運用重複捕取的概念，例如用來瞭解某些瀕臨絕種的物種數量是否有所波動。如果能估算某座湖裡還有多少魚，就能讓漁業部門判斷還能發出幾張捕魚許可。正因這種方式簡單有效，目前的應用已經不僅限於生態學領域，能夠精確估算人口中究竟有多少毒癮患者，或是科索沃有多少人死於戰爭等等。一個簡單的數學概念，卻能有極為實用的效果。我身為數學生物學者，平常就應用著這樣的各種概念，而這些概念也正是本書想談的主題。
數學生物學是什麼？
每次說到我是個數學生物學者，對方的反應通常就是禮貌的點點頭，接著陷入一陣尷尬的沉默，就好像我馬上會考考他們還記不記得二次方程式怎麼解、畢式定理又是什麼。大家不但對相關話題退避三舍，也覺得數學是個抽象、單純、空靈的學科，想不透要怎樣才會和他們覺得實際、複雜、務實的生物學扯上關係。
會有這樣二分法的概念，多半是從學校時代培養出來的：如果你當時覺得自己喜歡科學，但算數實在不行，大概就會被勸去選生科領域。如果你像我這樣，喜歡科學，但實在不想去切屍體（上解剖課的時候，我有一次光是走進實驗室、看到桌上有個魚頭，就昏倒了），大概就會被勸去選物理科學領域。數學和生物學就像兩條平行線。
不過，這兩個領域在我身上出現了交叉點。我在第六學級（sixth-form）放棄了生物，只修了數學、高等數學、物理，以及化學。等到大學，還得再進一步精簡能修的科目，以為自己只能永遠告別生物學，十分難過。在我心裡，一直覺得生物學擁有偉大的力量，能夠讓所有生命過得更好。雖然對於自己能有機會一頭栽進數學的世界裡也很開心，但還是忍不住擔心自己似乎選了一個沒什麼實際應用的學科。事實證明，我可說是大錯特錯。
在大學裡，系上有一部分教的是純粹數學，需要背誦中間值定理（intermediate value theorem）的證明，或是向量空間的定義，令人十分痛苦；但相較之下，應用數學的課程就讓我如魚得水。我聽著教授告訴我們，工程師用了哪些數學來造橋，好讓橋不會被風吹得產生共振而垮掉；又用了哪些數學來設計機翼，才讓飛機不會從天上掉下來。
我也學到物理學家如何使用量子力學來理解次原子尺度上的種種奇異現象，又如何用狹義相對論來理解光速不變所造成的奇怪結果。
我修的某些課裡，解釋了我們如何把數學應用在化學、金融與經濟學。我還讀到能夠如何將數學應用到運動領域，提升頂尖運動員的表現，以及如何把數學應用到電影中，用電腦模擬產生現實不可能存在的場景。簡單來說，我學到了幾乎可以用數學來描述所有事物。
等到了大三，我很幸運的選上了一門數學生物學的課，教師是來自北愛爾蘭的麥尼（Philip Maini），四十多歲，魅力十足。他不僅是所屬領域的佼佼者（後來還獲選英國皇家學院院士），對這個學科顯然充滿熱愛，更能讓課堂整個演講廳的學生都感受到他的熱情。
麥尼不只教了我數學生物學，更讓我知道數學家也是有血有肉的人類，而不是一般人所描繪的無趣機器人。像是研究機率的匈牙利學者雷尼（Alfréd Rényi）就曾說，數學家不只是「把咖啡變成定理的機器」。當時，我坐在麥尼的研究室裡，等著進行申請讀博士的面試，看到牆上掛滿各個英超聯賽球隊寄來的拒絕信，全都是因為他覺得好玩，就寫信去申請應徵管理職務。結果，那場面試我們談足球談得比數學還多。
這是我學術研究的重要時刻，麥尼協助我重新認識了生物學。我在他的指導下讀博士，幾乎一切都是我研究的對象，從瞭解蝗蟲如何成群、又該如何去阻止，到預測哺乳動物胚胎的發育如何像是複雜的舞步，步伐踏錯又可能造成怎樣的毀滅性後果。我建起各種模型，解釋鳥蛋如何產生那些美麗的斑紋，也寫出各種演算法，追蹤細菌如何自由游動。我還模擬了寄生蟲如何逃避人體免疫系統，以及建模顯示致命的疾病如何在人群中傳播。在我讀博士期間所開始的研究，後來就成了我整個職涯的基石。目前，我已經在巴斯大學擔任應用數學系的副教授，但仍然帶著自己的博士生，一起研究著這些精采萬分的生物學課題。
建立模型能帶來優勢
身為應用數學家，在我看來，數學就是一項實用的工具，能讓我們用來瞭解這個複雜的世界。運用數學建模，就能為我們在日常生活中帶來優勢，而且這可不需要什麼幾百條繁瑣的方程式或電腦程式碼。追根究柢，數學也就是模式，當你探究世界，每次都是在為自己所觀察到的模式找出模型。
如果你曾經留意到樹枝分支的樣貌，或是觀察到雪花的多重對稱，可以說你當時看到的就是數學。如果你曾經隨著音樂用腳打拍子，或是在洗澡的時候讓歌聲迴盪共鳴，可以說你就正在聽著數學。如果你曾經踢出香蕉球射門入網，或在打板球的時候逮住一記曲球回擊，可以說你就在實踐數學。
隨著你的每項新體驗、每條感官資訊，你對環境所建的模型都會逐漸改進、重新配置，變得更加詳盡、也更加複雜。如果想瞭解支配著我們周遭世界的種種規則，至今最好的辦法，就是建立數學模型，用來顯示這錯綜複雜的現實。
我相信，最簡單、也最重要的模型，正是「故事」和「類推」。數學推動著一股暗流，而想要看到這股暗流的威力，關鍵在於點出它如何影響大眾的生活，從特殊事件到日常生活，無所不包。只要有正確的觀點，就能看穿各種日常體驗，梳理出那些隱藏的數學規則。
本書共有七章，探討的真實事件正是因為使用（或誤用）數學，而使他們的人生大為不同：病患因基因錯誤而癱瘓，企業家因演算法錯誤而破產；有人因司法誤判而無辜受害，也有人因軟體故障而妄受災殃。我們看到有投資者血本無歸，也看到有父母痛失子女，原因歸根究柢都是誤判數學。我們會看到諸多道德上的難題，從篩選的進行到各種統計伎倆無所不包；此外，各種社會議題也總揮之不去，例如政治公投、疾病預防、刑事司法，與人工智慧。本書將會指出，對於這一切，甚至還有更多主題，數學都扮演著深遠、重要的角色。
本書中，我除了會指出在哪些地方可能會突然出現數學問題，還會提出一些能在日常生活派上用場的簡單數學法則及工具：怎麼在火車上搶到最棒的位子，或是在醫師突然宣布壞消息時保持冷靜。我也會提出一些簡單的辦法，讓人不要犯下數字錯誤，還要談談該怎樣洞悉新聞標題上的數字陷阱。此外，我們還會仔細解析消費性遺傳學產品背後的數學，以及瞭解在有致命疾病傳播的時候，如何運用數學來加以扼止。
我希望讀者已經發現，這其實不是一本「數學書」，也不是專為數學家所寫。整本書裡沒有任何方程式。本書的重點，並不是讓你想起那些可能早在不知道幾年前就忘記的學校數學課。情況正相反。如果你以前就覺得自己和數學無緣，沒有那種數學頭腦、碰到數學就頭痛，這本書或許能讓你從中解脫。
我真心相信人人都可以懂數學，而且我們也可以看穿每天面對的複雜現象，感受到那背後數學的精妙。
以下各章會讓我們看到，數學就是在我們腦海裡的假警報，是讓我們得以在夜晚入眠的假信心；是社群媒體上向我們推播的報導，也是社群媒體上無所不在的迷因。數學是法律上的破洞，也是縫合破洞的針線；是挽救生命的科技，也是讓生命落入險境的誤解；是致命疾病爆發的起因，卻也是控制疾病的生機。無論是面對宇宙之謎、或是人類物種的奧祕，數學都是最有可能解開這些謎團的工具。數學帶著我們踏上人生無窮的道路，接著就像是隔著一層紗，靜靜陪著、看著，等待我們呼出最後的一口氣。
我兒子四歲，喜歡在花園裡玩，挖出各種噁心的爬行動物來瞧瞧，蝸牛更是最愛。在他夠有耐心的時候，會等到蝸牛從被抓的震驚中恢復、小心翼翼的從殼裡探出頭來，開始滑過他的小手，留下黏黏的爬痕。最後等到他覺得無聊，就會有點無情的把蝸牛丟到堆肥堆，或是置物棚後面的柴堆上。
去年9月底，他有一次特別勤奮，抓了五六隻很大的蝸牛。他在我鋸柴火的時候跑來問我：「爸比，花園裡到底有幾隻蝸牛？」這個問題乍看之下很簡單，但我卻沒有一個好答案。這數字可能是100，也可能是1,000。而且老實說，他大概也分不出來這兩個數字有什麼不一樣。但這個問題還是引起了我的興趣。我們父子倆要怎樣才能一起找出答案？
我們決定做實驗。隔週的週六早上，我們一起去抓蝸牛。十分鐘內，我們總共抓到了23隻。我從褲子後面口袋拿出一支麥克筆，在每隻蝸牛的殼上都打了一個小小的叉叉，接著把桶子裡所有蝸牛放回花園裡。
一週後，我們又回去再抓了一次，一樣花了十分鐘，這次只抓到18隻。但檢查之後，發現只有3隻的殼上有叉叉，其他15隻沒有任何標記。這樣一來，我們就得到了足以用來計算的資訊。
概念是這樣：第一次抓到的蝸牛共有23隻，占了整個花園總蝸牛數的一定比例。只要算出這個比例，就能用來擴大推估整個花園的總蝸牛數。於是，我們又做了一次抽樣（也就是隔週那次）。第二次抽樣時，有標記個體所占的比例（3/18），應該就代表有標記個體在整個花園裡所占的比例。經過約分，可以知道有標記蝸牛應該是占了總蝸牛數的1/6，所以把第一次抓到的有標記個體數（23）乘以6，就能推算花園裡蝸牛總數的估計值，也就是138。
我在心裡完成計算之後，轉向一路上一直「照顧」著我們抓到的蝸牛的兒子，告訴他花園裡大約有138隻蝸牛，問他有什麼想法？他說：「爸比」，然後看著手指上還黏著的蝸牛殼碎片，「有一隻被我弄死了。」這下大約只剩137隻了。
這種簡單的數學方法出自生態學領域，稱為「重複捕取」（capture–recapture），用來估算動物族群的大小。讀者也可以自己嘗試看看，只要做兩次獨立抽樣，再比較之間重疊的情形就能推估。如果你想估算園遊會賣了幾張抽獎券，又或者想知道足球賽的觀眾人數，不想大費周章逐一計算，就可以採用這種「重複捕取」的方式。
即使是嚴謹的科學專案，也能運用重複捕取的概念，例如用來瞭解某些瀕臨絕種的物種數量是否有所波動。如果能估算某座湖裡還有多少魚，就能讓漁業部門判斷還能發出幾張捕魚許可。正因這種方式簡單有效，目前的應用已經不僅限於生態學領域，能夠精確估算人口中究竟有多少毒癮患者，或是科索沃有多少人死於戰爭等等。一個簡單的數學概念，卻能有極為實用的效果。我身為數學生物學者，平常就應用著這樣的各種概念，而這些概念也正是本書想談的主題。
數學生物學是什麼？
每次說到我是個數學生物學者，對方的反應通常就是禮貌的點點頭，接著陷入一陣尷尬的沉默，就好像我馬上會考考他們還記不記得二次方程式怎麼解、畢式定理又是什麼。大家不但對相關話題退避三舍，也覺得數學是個抽象、單純、空靈的學科，想不透要怎樣才會和他們覺得實際、複雜、務實的生物學扯上關係。
會有這樣二分法的概念，多半是從學校時代培養出來的：如果你當時覺得自己喜歡科學，但算數實在不行，大概就會被勸去選生科領域。如果你像我這樣，喜歡科學，但實在不想去切屍體（上解剖課的時候，我有一次光是走進實驗室、看到桌上有個魚頭，就昏倒了），大概就會被勸去選物理科學領域。數學和生物學就像兩條平行線。
不過，這兩個領域在我身上出現了交叉點。我在第六學級（sixth-form）放棄了生物，只修了數學、高等數學、物理，以及化學。等到大學，還得再進一步精簡能修的科目，以為自己只能永遠告別生物學，十分難過。在我心裡，一直覺得生物學擁有偉大的力量，能夠讓所有生命過得更好。雖然對於自己能有機會一頭栽進數學的世界裡也很開心，但還是忍不住擔心自己似乎選了一個沒什麼實際應用的學科。事實證明，我可說是大錯特錯。
在大學裡，系上有一部分教的是純粹數學，需要背誦中間值定理（intermediate value theorem）的證明，或是向量空間的定義，令人十分痛苦；但相較之下，應用數學的課程就讓我如魚得水。我聽著教授告訴我們，工程師用了哪些數學來造橋，好讓橋不會被風吹得產生共振而垮掉；又用了哪些數學來設計機翼，才讓飛機不會從天上掉下來。
我也學到物理學家如何使用量子力學來理解次原子尺度上的種種奇異現象，又如何用狹義相對論來理解光速不變所造成的奇怪結果。
我修的某些課裡，解釋了我們如何把數學應用在化學、金融與經濟學。我還讀到能夠如何將數學應用到運動領域，提升頂尖運動員的表現，以及如何把數學應用到電影中，用電腦模擬產生現實不可能存在的場景。簡單來說，我學到了幾乎可以用數學來描述所有事物。
等到了大三，我很幸運的選上了一門數學生物學的課，教師是來自北愛爾蘭的麥尼（Philip Maini），四十多歲，魅力十足。他不僅是所屬領域的佼佼者（後來還獲選英國皇家學院院士），對這個學科顯然充滿熱愛，更能讓課堂整個演講廳的學生都感受到他的熱情。
麥尼不只教了我數學生物學，更讓我知道數學家也是有血有肉的人類，而不是一般人所描繪的無趣機器人。像是研究機率的匈牙利學者雷尼（Alfréd Rényi）就曾說，數學家不只是「把咖啡變成定理的機器」。當時，我坐在麥尼的研究室裡，等著進行申請讀博士的面試，看到牆上掛滿各個英超聯賽球隊寄來的拒絕信，全都是因為他覺得好玩，就寫信去申請應徵管理職務。結果，那場面試我們談足球談得比數學還多。
這是我學術研究的重要時刻，麥尼協助我重新認識了生物學。我在他的指導下讀博士，幾乎一切都是我研究的對象，從瞭解蝗蟲如何成群、又該如何去阻止，到預測哺乳動物胚胎的發育如何像是複雜的舞步，步伐踏錯又可能造成怎樣的毀滅性後果。我建起各種模型，解釋鳥蛋如何產生那些美麗的斑紋，也寫出各種演算法，追蹤細菌如何自由游動。我還模擬了寄生蟲如何逃避人體免疫系統，以及建模顯示致命的疾病如何在人群中傳播。在我讀博士期間所開始的研究，後來就成了我整個職涯的基石。目前，我已經在巴斯大學擔任應用數學系的副教授，但仍然帶著自己的博士生，一起研究著這些精采萬分的生物學課題。
建立模型能帶來優勢
身為應用數學家，在我看來，數學就是一項實用的工具，能讓我們用來瞭解這個複雜的世界。運用數學建模，就能為我們在日常生活中帶來優勢，而且這可不需要什麼幾百條繁瑣的方程式或電腦程式碼。追根究柢，數學也就是模式，當你探究世界，每次都是在為自己所觀察到的模式找出模型。
如果你曾經留意到樹枝分支的樣貌，或是觀察到雪花的多重對稱，可以說你當時看到的就是數學。如果你曾經隨著音樂用腳打拍子，或是在洗澡的時候讓歌聲迴盪共鳴，可以說你就正在聽著數學。如果你曾經踢出香蕉球射門入網，或在打板球的時候逮住一記曲球回擊，可以說你就在實踐數學。
隨著你的每項新體驗、每條感官資訊，你對環境所建的模型都會逐漸改進、重新配置，變得更加詳盡、也更加複雜。如果想瞭解支配著我們周遭世界的種種規則，至今最好的辦法，就是建立數學模型，用來顯示這錯綜複雜的現實。
我相信，最簡單、也最重要的模型，正是「故事」和「類推」。數學推動著一股暗流，而想要看到這股暗流的威力，關鍵在於點出它如何影響大眾的生活，從特殊事件到日常生活，無所不包。只要有正確的觀點，就能看穿各種日常體驗，梳理出那些隱藏的數學規則。
本書共有七章，探討的真實事件正是因為使用（或誤用）數學，而使他們的人生大為不同：病患因基因錯誤而癱瘓，企業家因演算法錯誤而破產；有人因司法誤判而無辜受害，也有人因軟體故障而妄受災殃。我們看到有投資者血本無歸，也看到有父母痛失子女，原因歸根究柢都是誤判數學。我們會看到諸多道德上的難題，從篩選的進行到各種統計伎倆無所不包；此外，各種社會議題也總揮之不去，例如政治公投、疾病預防、刑事司法，與人工智慧。本書將會指出，對於這一切，甚至還有更多主題，數學都扮演著深遠、重要的角色。
本書中，我除了會指出在哪些地方可能會突然出現數學問題，還會提出一些能在日常生活派上用場的簡單數學法則及工具：怎麼在火車上搶到最棒的位子，或是在醫師突然宣布壞消息時保持冷靜。我也會提出一些簡單的辦法，讓人不要犯下數字錯誤，還要談談該怎樣洞悉新聞標題上的數字陷阱。此外，我們還會仔細解析消費性遺傳學產品背後的數學，以及瞭解在有致命疾病傳播的時候，如何運用數學來加以扼止。
我希望讀者已經發現，這其實不是一本「數學書」，也不是專為數學家所寫。整本書裡沒有任何方程式。本書的重點，並不是讓你想起那些可能早在不知道幾年前就忘記的學校數學課。情況正相反。如果你以前就覺得自己和數學無緣，沒有那種數學頭腦、碰到數學就頭痛，這本書或許能讓你從中解脫。
我真心相信人人都可以懂數學，而且我們也可以看穿每天面對的複雜現象，感受到那背後數學的精妙。
以下各章會讓我們看到，數學就是在我們腦海裡的假警報，是讓我們得以在夜晚入眠的假信心；是社群媒體上向我們推播的報導，也是社群媒體上無所不在的迷因。數學是法律上的破洞，也是縫合破洞的針線；是挽救生命的科技，也是讓生命落入險境的誤解；是致命疾病爆發的起因，卻也是控制疾病的生機。無論是面對宇宙之謎、或是人類物種的奧祕，數學都是最有可能解開這些謎團的工具。數學帶著我們踏上人生無窮的道路，接著就像是隔著一層紗，靜靜陪著、看著，等待我們呼出最後的一口氣。
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