數學

前言

20世紀初，偉大的數學家大衛．希爾伯特（David Hilbert） 發現，有很多數學中的重要論點在結構上十分類似。他意識到，在適當的廣義範疇下，這些論點事實上可以視為等同。與此類似的一系列發現為一個嶄新的數學分支開啟了大門。而這一新領域中的一個核心概念——希爾伯特空間——正是以希爾伯特的名字來命名的，這一概念使許許多多的現代數學研究變得清晰，範圍之廣包括了從數論直到量子力學各個分支，以至於如果你對希爾伯特空間的基本理論一無所知，你就根本不能算是一名受過良好教育的數學家。

那麼，甚麼是希爾伯特空間呢？在典型的高校數學課程中，它被定義為「完備的內積空間」。修讀這樣一門課程的學生，理應從先修課程中了解到，所謂「內積空間」是指配備了內積的向量空間，而所謂「完備」是指空間中任意柯西列都收斂。當然，要想理解這樣的定義，學生還必須知道「向量空間」、「內積」、「柯西列」和「收斂」的定義。就拿其中一個舉例來說（ 這還並不是最長的一個） ：序列x1，x2，x3，⋯⋯若滿足對於任意正數ɛ，總存在整數N，使得對於任意大於N的整數 p 和 q，xp 與 xq 間的距離不大於ɛ，則稱這個序列為柯西列。

簡言之，如果你希望了解希爾伯特空間是甚麼，你就必須首先學習並且消化一系列由低到高、等級分明的較低級概念。毫無疑問這需要耗費時間和精力。對於許多最重要的數學思想來說都是這樣。有鑑於此，要寫一本書提供對數學的簡單易懂的介紹，其所能達到的目標就極為有限，更何況這本書還需要寫得很短。

我沒有選擇用更聰明的辦法繞着這個難題走，而是集中關注數學交流中另一重完全不同的障礙。這重障礙並非技術性的，而更多屬於哲學性質的。它區分開了兩種人：一種人樂於接受諸如無窮大、負一的平方根、第二十六維和彎曲空間這樣的概念，另一類人則覺得這些概念荒誕不經。其實無須沉浸在技術細節中，依然有可能坦然接受這些思想，我將努力表明如何做到這一點。

如果說這本書要向你傳達甚麼信息的話，那就是——我們應當學習抽象地思考，因為通過抽象地思考，許多哲學上的困難就能輕易地消除。在第二章裏，我將詳細說明甚麼是抽象的方法。第一章中則考慮我們更熟悉、與日常更相關的抽象：從現實世界的問題中提取核心特徵，從而將其轉化為數學問題的過程。第三章中我將討論甚麼叫作「嚴格的證明」。這前三章是關於一般性的數學的。之後我將討論一些更加具體的課題。最後一章與其說是關於數學的，不如說是關於數學家的，因此會跟前幾章有些不同。我建議你在讀過第二章後再閱讀後續章節。除此以外，這本書已經盡量做到不受先後順序影響——在任何章節中，我並沒有假定讀者已經理解並記住了先前的內容。

讀這本書並不需要太多的預備知識，英國GCSE課程或同等水平即可。不過我假定讀者具有一些興趣，而不是需要靠我去大力宣揚。因此，我在書中沒有用到趣聞軼事、漫畫、驚嘆號、搞笑的章節標題或者曼德布羅特集合的圖片。我同樣避免了混沌理論、哥德爾定理等內容：與它們在當前數學研究中的實際影響相比，這些內容在公眾的想像中所佔的比例已經過大，而且其他圖書已經充分地闡釋了這些內容。我所選擇的內容都是很普通的，詳細地去討論，以說明怎樣通過一種更深刻的方式來理解它們。換言之，我的目標在深不在廣，在於向讀者傳達主流數學的魅力，讓讀者體會到它的不言而喻。

感謝克雷數學研究所和普林斯頓大學在我寫作此書期間對我的支持和熱情接待。感謝吉爾伯特．阿代爾（Gilbert Adair） 、麗貝卡．高爾斯（Rebecca Gowers）、埃米莉．高爾斯（Emily Gowers）、帕特里克．高爾斯（Patrick Gowers） 、喬書亞．卡茨（Joshua Katz）和埃德蒙．托馬斯（Edmund Thomas） 閱讀了本書的初稿。他們非常聰明，知識豐富，實在不能算作普通讀者，不過還是能夠讓我放心，至少某些非數學專家是能夠讀懂我的作品的。基於他們對此書的評論，我作出了許多改進。我把這本書獻給埃米莉，希望她能夠藉此了解一點點我整天都在做的是些甚麼事情。